CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRAS DE LIE
En matemática, un álgebra de Lie es la estructura algebraica definida sobre un espacio vectorial, asociada usualmente a los grupos de Lie y usadas en el estudio geométrico de esos los propios grupos y de otras variedades diferenciables. El término "álgebra de Lie" (referido a Sophus Lie) fue creado por Hermann Weyl en la década de 1930, para lo que se denominaba "grupo infinitesimal".
Si un grupo de Lie puede interpretarse en física como un grupo de transformaciones sobre una variedad diferenciable el álgebra de Lie físicamente puede concebirse como un conjunto de transformaciones infinitesimales.
Solo a modo de introducción y motivación daremos una breve información sobre los
orígenes de la noción de álgebra de Lie conforme a la propia concepción del matemático
noruego Sophus Lie (1849-1925). Cabe aclarar que, a pesar de esta introducción, el enfoque
que daremos a este curso es desde un punto de vista totalmente algebraico.
Como la historia nos lo viene diciendo, en general los resultados importantes y trascendentes
en matemática son los capaces de vincular dos estructuras, en su esencia, totalmente
distintas. Sophus Lie en el año 1873, estudiando propiedades de soluciones de sistemas
de ecuaciones diferenciales, dio el puntapié inicial a lo que hoy llamamos la Teoría de
Lie. Según Bourbaki [B], una de las ideas mas originales que tuvo fue la introducción de
la noción de invariantes en el análisis y en la geometría diferencial. Una de las observaciones
que hizo fue que los métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales “por
cuadraturas” se basaban todos en el hecho que la ecuación es invariante por una familia
“continua” de transformaciones. Es decir, dada la ecuación diferencial
F(x1, . . . , xn, y,
∂y
∂xi
,
∂
2
y
∂xixj
, . . .) = 0
decimos que y(x1 . . . , xn) es una solución si satisface la ecuación anterior; es invariante por
una de transformación x
0
i = fi(x1, . . . , xn) si dada una solución del sistema y(x1 . . . , xn), al aplicarle dichas transformaciones y
0
(x
0
1
. . . , x0
n) la ecuaci´on diferencial no cambia, es decir
sigue siendo de la forma
F(x
0
1
, . . . , x0
n, y0
,
∂y0
∂x0
i
,
∂
2
y
0
∂x0
i
x
0
j
, . . .) = 0
para mayor información:
2. Definición y ejemplos:
De acuerdo lo discutido en la sección anterior, la noción de álgebra de Lie surge
como un espacio vectorial de transformaciones lineales mundo de un nuevo producto:
[x, y] = xy − yx (con el producto usual de transformaciones lineales a la derecha) que en
general no es ni conmutativo ni asociativo.
Definamos mas precisamente estos conceptos en la forma m´as general posible. Sea k un
anillo conmutativo con unidad entendemos por álgebra lo siguiente:
Definición: Un k-modulo A es un álgebra sobre k si viene dado con una aplicación k bilineal A × A → A.
Observemos que esta aplicación o producto no es necesariamente asociativo. La
definición dada es una generalización del enunciado mas conocido: Un espacio vectorial A
sobre un cuerpo k es un álgebra si tiene un producto A × A → A k-bilineal.
Ejemplos. 1. El espacio de matrices (M(n, k), +, .) con la suma y el producto usual es un álgebra no conmutativa y asociativa.
2. El espacio de matrices (M(n, k), +, [ , ]) con la suma y el producto definido por
[x, y] = xy − yx es un álgebra no conmutativa y no asociativa.
Definición: Un álgebra (g, [ , ]) es un álgebra de Lie si el producto satisface:
(i) [x, y] = −[y, x] para todo x, y ∈ g (producto antisimetrico).
(ii) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 para todo x, y, z ∈ g (identidad de Jacobi).
Ejercicios Probar que son equivalentes:
a) (i) de la definición;
b) [x, x] = 0 para todo x ∈ g, si la característica de k es distinta de 2;
c) que el morfismo A ⊗k A → A admite una factorización A ⊗k A →
V2
A → A.
para mayor información se tiene un enlace:
Parte 1:
Parte 2:
https://www.youtube.com/watch?v=iiJ-vu_urYA
Libros:
Ejercicios:
PPT:
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